عنوان فعالیت: کار در کلاس نمایش‌های تابع و رابطه ریاضی دهم انسانی
در جدول زیر در هر سطر یکی از نمایش‌های رابطه‌ای مشخص شده است. ابتدا برای هر رابطه جاهای خالی را پر کنید سپس تشخیص دهید کدام رابطه، تابع است.
(جدول دارای ۵ سطر است که باید در هر سطر سه خانه‌ی خالی، یا بیشتر، پر شود و تابع بودن یا نبودن هر رابطه مشخص گردد.)
پاسخ تشریحی و گام به گام کار در کلاس نمایش‌های تابع و رابطه صفحه 47 ریاضی دهم انسانی
سلام به دانش‌آموزان خوب!
این فعالیت مهم، چهار روش اصلی نمایش **رابطه** و **تابع** را به ما یادآوری می‌کند: توصیفی، جدولی، زوج مرتب، و نمودار. اصل اساسی تابع: **هر ورودی، فقط یک خروجی دارد.**
---
## سطر ۱: تحلیل نمودار پیکانی
| نمایشی پیکانی |
| :---: |
| **توصیفی:** رابطه‌ای که در آن ورودی‌های $\mathbf{1}$ و $\mathbf{2}$ هر یک به $\mathbf{4}$ و $\mathbf{5}$ نسبت داده شده‌اند. |
| **جدولی:** $\mathbf{x=1 \to y=4}$ و $\mathbf{x=1 \to y=5}$. $\mathbf{x=2 \to y=4}$ و $\mathbf{x=2 \to y=5}$ |
| **نمایش زوج مرتب:** $\mathbf{\{(1, 4), (1, 5), (2, 4), (2, 5)\}}$. |
| **نمایش مختصاتی:** چهار نقطه در $\mathbf{(1, 4), (1, 5), (2, 4), (2, 5)}$ رسم می‌شود. |
| **تابع است؟** **خیر.**
| **چرا؟** از عضو $\mathbf{1}$ دو پیکان (به $\mathbf{4}$ و $\mathbf{5}$) و از عضو $\mathbf{2}$ نیز دو پیکان خارج شده است. یعنی یک ورودی، چند خروجی دارد. |
---
## سطر ۲: تحلیل نمایش جدولی
| نمایشی جدولی |
| :---: |
| **توصیفی:** رابطه‌ای که در آن مؤلفه‌های $\mathbf{x}$ عبارتند از $\mathbf{1, 2, 3, 4}$ و مؤلفه‌های $\mathbf{y}$ عبارتند از $\mathbf{1, 4, 9, 16}$ |
| **نمایش زوج مرتب:** $\mathbf{\{(1, 1), (2, 4), (3, 9), (4, 16)\}}$. |
| **نمایش مختصاتی:** چهار نقطه در $\mathbf{(1, 1), (2, 4), (3, 9), (4, 16)}$ رسم می‌شود. |
| **نمایش پیکانی:** از هر عضو $\mathbf{\{1, 2, 3, 4\}}$ یک پیکان به خروجی متناظرش در $\mathbf{\{1, 4, 9, 16\}}$ وصل می‌شود. |
| **تابع است؟** **بله.**
| **چرا؟** مؤلفه‌های $\mathbf{x}$ تکراری نیستند؛ یعنی برای هر ورودی فقط یک خروجی مشخص وجود دارد. این رابطه همان $\mathbf{y = x^2}$ است. |
---
## سطر ۳: تحلیل توصیفی
| رابطه‌ای است که به هر عضو مجموعه‌ی $\mathbf{A = \{0, 1, 2, -1, -2\}}$ توان چهارم آن را نسبت می‌دهد. |
| :---: |
| **جدولی:** $\mathbf{y = x^4}$ | $\mathbf{x=0 \to y=0}$ | $\mathbf{x=1 \to y=1}$ | $\mathbf{x=2 \to y=16}$ | $\mathbf{x=-1 \to y=1}$ | $\mathbf{x=-2 \to y=16}$ |
| **نمایش زوج مرتب:** $\mathbf{\{(0, 0), (1, 1), (2, 16), (-1, 1), (-2, 16)\}}$. |
| **نمایش مختصاتی:** پنج نقطه در مختصات بالا رسم می‌شود. |
| **نمایش پیکانی:** از هر عضو $\mathbf{A}$ یک پیکان خارج می‌شود. (مثلاً $\mathbf{1 \to 1}$ و $\mathbf{-1 \to 1}$) |
| **تابع است؟** **بله.**
| **چرا؟** چون به هر ورودی، فقط یک توان چهارم نسبت داده شده است (برای هر $\mathbf{x}$، یک $\mathbf{y}$). حتی اگر دو ورودی مختلف، یک خروجی داشته باشند (مانند $\mathbf{1}$ و $\mathbf{-1}$ که هر دو به $\mathbf{1}$ می‌روند)، باز هم تابع است. |
---
## سطر ۴: تحلیل نمایش زوج مرتب
| $\mathbf{f = \{(\text{شنا}, \text{علی}), (\text{فوتبال}, \text{رضا})\}}$ و $\mathbf{\text{رابطه } = \{(\text{شنا}, \text{رضا}), (\text{والیبال}, \text{آرش}), (\text{کشتی}, \text{حمید}), (\text{تیراندازی}, \text{علی})\}}$ |
| :---: |
| **توصیفی:** ورودی‌ها نام رشته‌های ورزشی و خروجی‌ها نام افراد هستند. |
| **نمایش زوج مرتب (ادغام شده):** $\mathbf{\{(\text{شنا}, \text{علی}), (\text{فوتبال}, \text{رضا}), (\text{شنا}, \text{رضا}), (\text{والیبال}, \text{آرش}), (\text{کشتی}, \text{حمید}), (\text{تیراندازی}, \text{علی})\}}$ |
| **نمایش مختصاتی:** (نقاط به صورت اختیاری رسم می‌شود) |
| **نمایش پیکانی:** از 'شنا' یک پیکان به 'علی' و یک پیکان به 'رضا' می‌رود. |
| **تابع است؟** **خیر.**
| **چرا؟** ورودی **«شنا»** دو خروجی متفاوت **«علی»** و **«رضا»** دارد. این یعنی یک رشته ورزشی به دو فرد نسبت داده شده است. |
---
## سطر ۵: تحلیل نمودار مختصاتی
| نمودار مختصاتی |
| :---: |
| **توصیفی:** رابطه‌ای بین «افراد» ($athbf{x}$) و «وزن» ($athbf{y}$) در چند نقطه. |
| **نمایش زوج مرتب:** $\mathbf{\{(\text{علی}, 60), (\text{رضا}, 70), (\text{حسن}, 70), (\text{...}, 80)\}}$ |
| **نمایش پیکانی:** از هر نام در محور افراد، یک پیکان به وزن متناظرش در محور وزن خارج می‌شود. |
| **جدولی:** محور $\mathbf{x}$ (افراد)، محور $\mathbf{y}$ (وزن) |
| **تابع است؟** **بله.**
| **چرا؟** اگر از هر نقطه روی محور $\mathbf{x}$ (افراد) یک خط عمودی رسم کنیم، این خط عمودی نمودار را **فقط در یک نقطه** قطع می‌کند. به عبارت دیگر، هر فرد (ورودی) تنها یک وزن (خروجی) دارد. |
